線面垂直的定義

如果一條直線與平面內(nèi)任意一條直線都垂直，那么這條直線與這個(gè)平面垂直。是將“三維”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“二維”解決是一種重要的立體幾何數(shù)學(xué)方法。在處理實(shí)際問(wèn)題過(guò)程中，可以先從題設(shè)條件入手，分析已有的垂直關(guān)系，再?gòu)慕Y(jié)論入手分析所要證明的重要垂直關(guān)系，從而架起已知與未知的“橋梁”。

線面垂直的證明過(guò)程

設(shè)有一直線l與面S上兩條相交直線AB、CD都垂直，則l⊥面S

假設(shè)l不垂直于面S，則要么l∥S，要么斜交于S且?jiàn)A角不等于90。

當(dāng)l∥S時(shí)，則l不可能與AB和CD都垂直。這是因?yàn)楫?dāng)l⊥AB時(shí)，過(guò)l任意作一個(gè)平面R與S交于m，則由線面平行的性質(zhì)可知m∥l

∴m⊥AB

又∵l⊥CD

∴m⊥CD

∴AB∥CD，與已知條件矛盾。

當(dāng)l斜交S時(shí)，過(guò)交點(diǎn)在S內(nèi)作一直線n⊥l，則n和l構(gòu)成一個(gè)新的平面T，且T和S斜交（若T⊥S，則n是兩平面交線。由面面垂直的性質(zhì)可知l⊥S，與l斜交S矛盾）。

∵l⊥AB

∴AB∥n

∵l⊥CD

∴CD∥n

∴AB∥CD，與已知條件矛盾。

綜上，l⊥S